त्रिकोणमिति

त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जिसमें त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन किया जाता है। त्रिकोणमिति का उपयोग ज्यामिति, भौतिकी, इंजीनियरिंग, खगोल विज्ञान, और अन्य कई क्षेत्रों में किया जाता है।

त्रिकोणमिति के मूलभूत शब्दावली में निम्नलिखित शामिल हैं:

त्रिभुज: एक त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं।
कोण: एक कोण एक वस्तु की दिशा में परिवर्तन है। कोणों को डिग्री में मापा जाता है।
भुजा: एक भुजा एक त्रिभुज का एक किनारा होता है।

त्रिकोणमिति के मूलभूत अनुपातों में निम्नलिखित शामिल हैं:

sin : sin एक कोण की भुजाओं के अनुपात को दर्शाता है।
cos: cos एक कोण की भुजाओं के अनुपात को दर्शाता है।
tan: tan एक कोण की भुजाओं के अनुपात को दर्शाता है।

त्रिकोणमिति के मूलभूत सूत्रों में निम्नलिखित शामिल हैं:

पाइथागोरस प्रमेय: पाइथागोरस प्रमेय बताता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग आधार और लम्ब की लम्बाइयों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
सिन नियम: सिन नियम बताता है कि किसी त्रिभुज के किसी कोण के सिन उसके विपरीत भुजा की लम्बाई और कर्ण की लम्बाई के अनुपात के बराबर होता है।
कोस नियम: कोस नियम बताता है कि किसी त्रिभुज के किसी कोण के कोस उसके निकटवर्ती भुजाओं की लम्बाइयों के वर्गों के योग और कर्ण की लम्बाई के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।
टैन नियम: टैन नियम बताता है कि किसी त्रिभुज के किसी कोण के टैन उसके विपरीत भुजा की लम्बाई और उसके निकटवर्ती भुजा की लम्बाई के अनुपात के बराबर होता है।

त्रिकोणमितीय फलन

किसी समकोण त्रिभुज में किन्हीं दो भुजाओं के अनुपात को त्रिकोणमितीय अनुपात कहते है।

लम्ब/कर्ण = sin θ
आधार/कर्ण = cos θ
लम्ब/आधार = tan θ
आधार/लम्ब = cot θ
कर्ण/आधार = sec θ
कर्ण/लम्ब = cosec θ

त्रिकोणमितीय अनुपातों में परस्पर संबंध (Relation between Trigonometric Ratios)

sin θ cosec θ = 1
cos θ sec θ = 1
tan θ cot θ = 1
tan θ = sin θ/cos θ
cot θ = cos θ/sin θ
sin² θ + cos² θ = 1
1 + tan² θ = sec² θ
1 + cot² θ = cosec²

B. Trigonometric ratios of allied angles

1. Trigonometric ratios of (-θ) in terms of (θ)

sin(-θ) = -sinθ
cos(-θ) = cosθ
tan(-θ) = -tanθ
cot(-θ) = -cotθ
sec(-θ) = secθ
cosec(-θ) = -cosecθ

2. Trigonometric ratios of (90⁰-θ) in terms of (θ)

sin(90⁰-θ) = cosθ
cos(90⁰-θ) = sinθ
tan(90⁰-θ) = cotθ
cot(90⁰-θ) = tanθ
sec(90⁰-θ) = cosecθ
(90⁰-θ) = secθ

3. Trigonometric ratios of (90⁰+θ) in terms of (θ)

sin(90⁰+θ) = cosθ
cos(90⁰+θ) = -sinθ
tan(90⁰+θ) = -cotθ
cot(90⁰+θ) = -tanθ
sec(90⁰+θ) = -cosecθ
(90⁰+θ) = secθ

4. Trigonometric ratios of (180⁰-θ) in terms of (θ)

sin(180⁰-θ) = sinθ
cos(189⁰-θ) = -cos
tan(180⁰-θ) = -tanθ
cot(180⁰-θ) = -cotθ
sec(180⁰-θ) = -secθ
cosec(180⁰-θ) = cosecθ

5. Trigonometric ratios of (180⁰+θ) in terms of (θ)

sin(180⁰+θ) = -sinθ
cos(180⁰+θ) = -cosθ
tan(180⁰+θ) = tanθ
cot(180⁰+θ) = cotθ
sec(180⁰+θ) = -secθ
(180⁰+θ) = -cosecθ

6. Trigonometric ratios of (90⁰+θ) in terms of (θ)

sin(270⁰-θ) = -cosθ
cos(270⁰-θ) = -sinθ
tan(270⁰-θ) = cotθ
cot(270⁰-θ) = tanθ
sec(270⁰-θ) = -cosecθ
(270⁰θ) = -secθ

7. Trigonometric ratios of (90⁰+θ) in terms of (θ)

sin(270⁰+θ) = -cosθ
cos(270⁰+θ) = sinθ
tan(270⁰+θ) = -cotθ
cot(270⁰+θ) = -tanθ
sec(270⁰+θ) = cosecθ
(270⁰+θ) = -secθ

8. Trigonometric ratios of (360⁰-θ) in terms of (θ)

sin(360⁰-θ) = -sinθ
cos(360⁰-θ) = cosθ
tan(360⁰-θ) = -tanθ
cot(360⁰-θ) = -cotθ
sec(360⁰-θ) = secθ
(360⁰-θ) = -cosecθ

9. Trigonometric ratios of (360⁰-θ) in terms of (θ)

sin(360⁰+θ) = sinθ
cos(360⁰+θ) = cosθ
tan(360⁰+θ) = tanθ
cot(360⁰+θ) = cotθ
sec(360⁰+θ) = secθ
(360⁰+θ) = cosecθ

10. Trigonometric ratios of (n×360⁰±θ) in terms of (θ)

sin(n×360⁰±θ) = ±sinθ
cos(n×360⁰±θ) = cosθ
tan(n×360⁰±θ) = ±tanθ
cot(n×360⁰±θ) = ±cotθ
sec(n×360⁰±θ) = secθ
(n×360⁰±θ) = ±cosecθ

C. Trigonometric ratios of compound angels

1. Trigonometric ratios of sum and difference of two angles

sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB
cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB
sin(A-B) = sinA cosB – cosA sinB
cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB

2. Transformation of product into sums of differences

2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A-B)
2 cosA sinB = sin(A+B) – sin(A-B)
2 cosA cosB = cos(A+B) + cos(A-B)
2 sinA sinB = cos(A+B) – cos(A-B)

3. Transformation of sum or difference into product

Suppose A+B=C and A-B=D or $$ A = \frac{C+D}{2}$$ and $$B = \frac{C-D}{2}$$

$$sinC+sinD = 2 sin \frac{C+D}{2} cos\frac{C-D}{2}$$
$$sinC-sinD = 2 cos \frac{C+D}{2} sin\frac{C-D}{2}$$
$$cosC+cosD = 2 cos \frac{C+D}{2} cos\frac{C-D}{2}$$
$$cosC-cosD = 2 sin\frac{C+D}{2} sin\frac{D-C}{2}$$

4. Trigonometric ratios of sum of more than two angles

sin(A+B+C) = sinA cosB cos C + cosA sinB cosC + cosA cosB sinC – sinA sinB sinC
cos(A+B+C) = cosA cosB cosC – sinA sinB cosC – sinA cosB sinC – cosA sinB sinC

D. Trigonometric ratios of multiple and sub-multiple angles

Multiple angles: 2A, 3A, 4A ….Sub-multiple angles : $$ \frac{A}{2}, \frac{A}{3}, \frac{A}{4}$$…….

1. Trigonometric ratios of an angle 2A in terms of angle A

sin2A = 2sinA cosA
cos2A = 1-2sin²A
$$ tan2A = \frac{2tanA}{1-tan^2A}$$

2. Trigonometric ratios of sin2A and cos2A in terms of tanA

$$ \sin 2A = \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A} $$

$$ \cos 2A = \frac{1 – \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} $$

3. Trigonometric ratios of an angle 3A in terms of angle A

sin3A = 3 sinA – 4sin³A
cos3A = 4 cos³A – 3 cosA
$$ tan3A = \frac{3 tanA – tan^3A}{1-3 tan^2A}$$

4. Trigonometric ratios of an angle 18⁰

$$sin18^0 = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$
$$cos18^0 = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$

5. Trigonometric ratios of an angle 36⁰

$$cos36^0 = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$$
$$sin36^0 = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$$

6. Trigonometric ratios of an angle A in terms of angle A/2.

$$sinA = 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$$
$$cosA = 1- 2 \sin^2\frac{A}{2}$$
$$tanA = \frac{2\tan\frac{A}{2}}{1-\tan^2\frac{A}{2}}$$
$$sinA = \frac{2\tan\frac{A}{2}}{1+\tan^2\frac{A}{2}}$$
$$cosA = \frac{1-\tan^2\frac{A}{2}}{1+\tan^2\frac{A}{2}}$$

7. Trigonometric ratios of an angle $\frac{A}{2}$ in terms of cosA

$$sin\frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-cosA}{2}}$$
$$cos\frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+cosA}{2}}$$
$$tan\frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-cosA}{1+cosA}}$$

8. Trigonometric ratios of an angle $\frac{A}{2}$ in terms of sinA

$$sin\frac{A}{2} \pm cos\frac{A}{2} = \pm \sqrt{1+sinA}$$
$$sin\frac{A}{2} – cos\frac{A}{2} = \pm \sqrt{1-sinA}$$

Double angle formulas:

$$sin 2A = 2 \sin A \cos A$$
$$cos 2A = \cos^2 A – \sin^2 A$$

त्रिकोणमितीय सूत्र (Trigonometric Formulas)

Sum to product:
- sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
- cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Difference to product:
- sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B
- cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Double angle formulas:
- sin 2A = 2 sin A cos A
- cos 2A = cos² A – sin² A
Sum and difference of sines and cosines:
- sin(A + B) + sin(A – B) = 2 sin A cos B
- sin(A + B) – sin(A – B) = 2 cos A sin B
- cos(A + B) + cos(A – B) = 2 cos A cos B
- cos(A + B) – cos(A – B) = -2 sin A sin B

5. त्रिकोणमितीय फलनों के श्रेणी विस्तार (Series Expnsion of Trigonometric functions)

$$\sin(\theta) = \theta – \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} – \frac{\theta^7}{7!} + \cdots$$

$$\cos(\theta) = 1 – \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} – \frac{\theta^6}{6!} + \cdots$$

$$\tan(\theta) = \theta + \frac{\theta^3}{3} + \frac{2\theta^5}{15} + \cdots$$

6. सन्निकट मान (Approximate Value)

त्रिकोणमितीय फलनों में यदि θ अत्यल्प हो तो

sin θ ≈ θ
cos θ ≈ θ
tan θ ≈ θ

7. औसत मान (Average Value)

= = 0
= =
< sin² θ > = < sin² θ > = 1/2
< cos² θ > = < cos² θ > = 1/2